盒子
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文章目录
  1. 简介
  2. 优势
  • 介绍
    1. 支持操作
      1. 基本操作
      2. 可支持操作
    2. 操作分析
      1. Build
      2. Merge
      3. Split
      4. Newnode
    3. 可支持操作
  • 可持久化
  • 其他的问题
  • Code
  • 非旋转Treap及可持久化[Merge,Split]

    简介

    Treap,一种表现优异的BST

    优势

    其较于AVL、红黑树实现简单,浅显易懂
    较于Splay常数小,通常用于树套BST表现远远优于Splay
    或许有人想说SBT,SBT我没有实现过,据说比较快
    但是SBT、Splay以及旋转版Treap等BST都不可以比较方便地实现‘可持久化操作’

    Treap另有旋转版Treap
    本文主要介绍非旋转版Treap

    介绍

    Treap=Tree+Heap
    Treap是一颗同时拥有二叉搜索树和堆性质的一颗二叉树
    Treap有两个关键字,在这里定义为:

    • key,满足二叉搜索树性质,即中序遍历按照key值有序
    • fix,满足堆性质,即对于任何一颗以x为根的子树,x的fix值为该子树的最值,方便后文叙述,定义为最小值

    为了满足期望,fix值是一个随机的权值,用来保证树高期望为 $\log n$
    剩下的key值则是用来维护我们想要维护的一个权值,此为一个二叉搜索树的基本要素

    支持操作

    基本操作

    • Build【构造Treap】$O(n)$
    • Merge【合并】$O(\log n)$
    • Split【拆分】$O(\log n)$
    • Newnode【新建节点】$O(1)$

    可支持操作

    • Insert【Newnode+Merge】$O(\log n)$
    • Delete【Split+Split+Merge】$O(\log n)$
    • Find_kth【Split+Split】$O(\log n)$
    • Query【Split+Split】$O(\log n)$
    • Cover【Split+Split+Merge】$O(\log n)$
    • and more….

    操作分析

    PS:如果没有看懂可以在最后看看我的代码

    Build

    让我们先来看看笛卡尔树,笛卡尔树同样是一颗同时拥有二叉搜索树和堆性质的一颗二叉树
    笛卡尔树构造是和Treap完全一样的,如果key值是有序的,那么笛卡尔树的构造是线性的,所以我们只要把Treap当作一颗笛卡尔树构造就可以了
    简要讲讲笛卡尔树:
    1
    笛卡尔树构造时用栈维护了整棵树最右的一条链,每次在右下角处加入一个元素然后维护笛卡尔树的性质

    图中,1、3、4、6、8、9为栈中元素,此时笛卡尔树满足所有性质,即在栈中元素fix值从1开始递增,假设此时我们在9的右儿子添加了一个13,若13的fix值小于栈顶元素9的fix,那么就开始退栈,停止退栈的条件有两个,满足任意一个即停止:

    • 当前栈顶元素fix<13的fix【前面已经约定fix小的在上】
    • 栈为空

    若13的fix>3的fix并且<4的fix,那么上图会变为:
    2
    由于对于每个元素只会退栈一次,所以复杂度是$O(n)$

    Merge

    对于两个相对有序的Treap【若中序遍历为递增,即TreapA的最右下角也就是最大值小于TreapB的最左下角也就是最小值】,那么Merge的复杂度是$O(\log n)$的;
    对于两个相对无序的Treap,那么Merge只能启发式合并了。
    那么Merge是如何操作的?
    我们可以先来看看斜堆的Merge操作.
    非常好理解,斜堆的Merge是一个递归操作:

    • 若当前要Merge(A,B),若A的val<B的val,交换A,B指针;
    • 然后A的右子树=Merge(A的右子树,B);

    最后交换一下A的左右子树满足插入期望。(PS:读者可以思考一下为什么)
    Treap的Merge也同理,只是需要注意满足中序遍历,因此不能交换左右子树,需要自行特判,代码也很简洁

    Split

    对于一个Treap,我们需要把它按照第K位拆分,那应该怎么做呢?
    就像在寻找第K位一样走下去,一边走一边拆树,每次返回的时候拼接就可以了
    由于树高是$\log n$的,所以复杂度当然也是$\log n$的
    这样Treap有了Split和Merge操作,我们可以做到提取区间,也因此可以区间覆盖,也可以区间求和等等
    除此之外因为没有了旋转操作,我们还可以进行可持久化,这个下文会讲到

    Newnode

    这个就不说了

    可支持操作

    一切可支持操作都可以通过以上四个基本操作完成:
    Build可以用来$O(n)$构树还可以在替罪羊树套Treap暴力重构的时候降低一个$\log$的复杂度
    Merge和Split可用提取区间,因此可以操作一系列区间操作
    Newnode单独拿出来很必要,这样在可持久化的时候会很轻松

    可持久化

    可持久化是对数据结构的一种操作,即保留历史信息,使得在后面可以调用之前的历史版本
    对于可持久化,我们可以先来看看主席树(可持久化线段树的一种)是怎么可持久化的:

    • 由于只有父亲指向儿子的关系,所以我们可以在线段树进入修改的时候把沿途所有节点都copy一遍
    • 然后把需要修改的指向儿子的指针修改一遍就好了,因为每次都是在原途上覆盖,不会修改前一次的信息
    • 由于每次只会copy一条路径,而我们知道线段树的树高是$\log$的,所以时空复杂度都是$n\log n$

    我们来看看旋转的Treap,现在应该知道为什么不能可持久化了吧?
    如果带旋转,那么就会破环原有的父子关系,破环原有的路径和树形态,这是可持久化无法接受的
    如果把Treap变为非旋转的,那么我们可以发现只要可以可持久化Merge和Split就可一完成可持久化
    因为上文说到了‘一切可支持操作都可以通过以上四个基本操作完成’,而Build操作只用于建造无需理会,Newnode就是用来可持久化的工具
    我们来观察一下Merge和Split,我们会发现它们都是由上而下的操作!
    因此我们完全可以参考线段树的可持久化对它进行可持久化
    每次需要修改一个节点,就Newnode出来继续做就可以了

    其他的问题

    Q:Treap需不需要记录father指针?

    A:看上去如果要可持久化的话是不能要的,但是我们知道不记录father指针会丧失一些BST的功能,如:

    • 询问一个节点是第几大。

      即所有自下而上的操作都不能实现。
      那我们是否可以考虑加上father节点又能实现可持久化?答案是可以的!
      主席给了我一种方法:

    • 对每一个节点建立一个有序表,记录每次修改的版本信息,当儿子走向父亲的时候就可以在父亲的表中找到需要的信息,对于有序表的实现,我们可以在全局开一个hash表存储,这样复杂度依然是期望$\log n$的。

      但是有个问题,我们必须要知道father节点恰好的修改时间,而我们往往不知道,往往需要寻找的是第K次修改之前的节点,怎么办呢?
      还是可以的,我们可以牺牲一个$\log$的复杂度在每个节点上建立一个线段树查询前驱。
      然而我们还可以猎奇一点,现在我们的任务是:找到父亲的表中的第K次修改之前的节点,即寻找前驱。

    • 寻找前驱。

      因此我们可以在理论上做到 $\log n \log(\log n)$ ,没错就是van Emde Boas tree
      (其实在数据不大的情况下vEB的优势实在难以体现)
      后附vEB & Treap代码

    Code

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    //Treap[Merge,Split]
    /*
    Treap[Merge,Split]
    by Memphis
    */
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    #include<ctime>
    using namespace std;
    #define maxn 2000005
    #define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
    #define dep(i,x,y) for(int i=x;i>=y;--i)
    struct Treap{
    Treap *l,*r;
    int fix,key,size;
    Treap(int key_):fix(rand()),key(key_),l(NULL),r(NULL),size(1){}
    inline void updata(){
    size=1+(l?l->size:0)+(r?r->size:0);
    }
    }*root;
    typedef pair<Treap*,Treap*> Droot;//用来Split返回两个根
    inline int Size(Treap *x){return x?x->size:0;}//这样求size可以防止访问空指针
    Treap *Merge(Treap *A,Treap *B){//合并操作
    if(!A)return B;
    if(!B)return A;
    if(A->fix<B->fix){
    A->r=Merge(A->r,B);
    A->updata();
    return A;
    }else{
    B->l=Merge(A,B->l);
    B->updata();
    return B;
    }
    }
    Droot Split(Treap *x,int k){//拆分操作
    if(!x)return Droot(NULL,NULL);
    Droot y;
    if(Size(x->l)>=k){
    y=Split(x->l,k);
    x->l=y.second;
    x->updata();
    y.second=x;
    }else{
    y=Split(x->r,k-Size(x->l)-1);
    x->r=y.first;
    x->updata();
    y.first=x;
    }
    return y;
    }
    Treap *Build(int *a){//建造操作
    static Treap *stack[maxn],*x,*last;
    int p=0;
    rep(i,1,a[0]){
    x=new Treap(a[i]);
    last=NULL;
    while(p && stack[p]->fix>x->fix){
    stack[p]->updata();
    last=stack[p];
    stack[p--]=NULL;
    }
    if(p) stack[p]->r=x;
    x->l=last;
    stack[++p]=x;
    }
    while(p) stack[p--]->updata();
    return stack[1];
    }
    int Findkth(int k){//查找第K小
    Droot x=Split(root,k-1);
    Droot y=Split(x.second,1);
    Treap *ans=y.first;
    root=Merge(Merge(x.first,ans),y.second);
    return ans->key;
    }
    int Getkth(Treap *x,int v){//询问一个数是第几大
    if(!x)return 0;
    return v<x->key?Getkth(x->l,v):Getkth(x->r,v)+Size(x->l)+1;
    }
    void Insert(int v){//插入操作
    int k=Getkth(root,v);
    Droot x=Split(root,k);
    Treap *n=new Treap(v);
    root=Merge(Merge(x.first,n),x.second);
    }
    void Delete(int k){//删除操作
    Droot x=Split(root,k-1);
    Droot y=Split(x.second,1);
    root=Merge(x.first,y.second);
    }
    int a[maxn],M,x,y;
    int main(){
    freopen("bst.in","r",stdin);
    freopen("bst.out","w",stdout);
    scanf("%d",a);
    rep(i,1,a[0]) scanf("%d",a+i);
    sort(a+1,a+1+a[0]);
    root=Build(a);
    scanf("%d",&M);
    while(M--){
    char ch=getchar();
    while(ch!='Q' && ch!='A' && ch!='D') ch=getchar();
    scanf("%d",&x);
    if(ch=='Q') printf("%d\n",Findkth(x));
    if(ch=='A') Insert(x);
    if(ch=='D') Delete(x);
    }
    }
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    //van Emde Boas tree
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    #define maxn 5000005
    #define inf 0x7f7f7f7f
    #define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
    #define dep(i,x,y) for(int i=x;i>=y;--i)
    int N,M,x;
    inline int sqr(const int x){return x*x;}//平方
    int power2(int x){//找到第一个大于等于x的二的整次幂
    int ans=1;
    for(;ans<x;ans<<=1);
    return ans;
    }
    struct SQRT{//二的整次幂的开根上取和开根下取
    int upper,lower;
    }Sqrt[maxn];
    /////////////////* van Emde Boas tree
    int cluster_cnt,max_low,min_low,offset,succ_cluster,pred_cluster,first_cluster,summary_max;
    struct vEB_tree;
    vEB_tree *cluster[maxn];
    struct vEB_tree{//以下部分解释详见《算法导论》
    int p,u,Min,Max;
    vEB_tree *summary;
    inline int high(int x){return x/Sqrt[u].lower;}
    inline int low(int x){return x%Sqrt[u].lower;}
    inline int index(int x,int y){return x*Sqrt[u].lower+y;}
    vEB_tree(){}
    vEB_tree(int n):u(n){
    p=cluster_cnt;
    if(n>2){
    cluster_cnt+=Sqrt[n].upper;
    Min=cluster_cnt-1;
    rep(i,p,Min)
    cluster[i]=new vEB_tree(Sqrt[n].lower);
    summary=new vEB_tree(Sqrt[n].upper);
    }
    Min=Max=inf;
    }
    int vEB_tree_Minimum(){return Min;}
    int vEB_tree_Maximum(){return Max;}
    bool vEB_tree_Member(int x){
    if(x==Min || x==Max) return true;
    if(u==2) return false;
    return cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Member(low(x));
    }
    int vEB_tree_Successor(int x){
    if(u==2){
    if(x==0 && Max==1) return 1;
    return inf;
    }
    if(Min<=N && x<Min) return Min;
    max_low=cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Maximum();
    if(max_low<=N && low(x)<max_low){
    offset=cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Successor(low(x));
    return index(high(x),offset);
    }
    succ_cluster=summary-> vEB_tree_Successor(high(x));
    if(succ_cluster>N) return inf;
    offset=cluster[p+succ_cluster]-> vEB_tree_Minimum();
    return index(succ_cluster,offset);
    }
    int vEB_tree_Predecessor(int x){
    if(u==2){
    if(x==1 && Min==0) return 0;
    return inf;
    }
    if(Max<=N && x>Max) return Max;
    min_low=cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Minimum();
    if(min_low<=N && low(x)>min_low){
    offset=cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Predecessor(low(x));
    return index(high(x),offset);
    }
    pred_cluster=summary-> vEB_tree_Predecessor(high(x));
    if(pred_cluster>N){
    if(Min<=N && x>Min) return Min;
    return inf;
    }
    offset=cluster[p+pred_cluster]-> vEB_tree_Maximum();
    return index(pred_cluster,offset);
    }
    inline void vEB_empty_tree_Insert(int x){Min=Max=x;}
    void vEB_tree_Insert(int x){
    if(Min>N) vEB_empty_tree_Insert(x);
    else{
    if(x<Min) swap(x,Min);
    if(u>2){
    if(cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Minimum()>N){
    summary-> vEB_tree_Insert(high(x));
    cluster[p+high(x)]-> vEB_empty_tree_Insert(low(x));
    }else
    cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Insert(low(x));
    }
    if(x>Max) Max=x;
    }
    }
    void vEB_tree_Delete(int x){
    if(Min==Max) Min=Max=inf;
    else{
    if(u==2){
    if(x==0) Min=1;
    else Min=0;
    Max=Min;
    }else{
    if(x==Min){
    first_cluster=summary-> vEB_tree_Minimum();
    x=index(first_cluster,cluster[p+first_cluster]-> vEB_tree_Minimum());
    Min=x;
    }
    cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Delete(low(x));
    if(cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Minimum()>N){
    summary-> vEB_tree_Delete(high(x));
    if(x==Max){
    summary_max=summary-> vEB_tree_Maximum();
    if(summary_max>N) Max=Min;
    else
    Max=index(summary_max,cluster[p+summary_max]-> vEB_tree_Maximum());
    }
    }else
    if(x==Max)
    Max=index(high(x),cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Maximum());
    }
    }
    }
    }*root;
    void Initialization(int n){//初始化
    for(int i=0;(1<<i)<=n;++i){
    Sqrt[1<<i].lower=1<<i/2;
    Sqrt[1<<i].upper=1<<i/2+i%2;
    }
    root=new vEB_tree(n);//构造vEB tree
    }
    int main(){
    freopen("1.in","r",stdin);
    freopen("1.out","w",stdout);
    scanf("%d",&N);
    Initialization(power2(N));
    rep(i,1,N){
    scanf("%d",&x);
    root-> vEB_tree_Insert(x-1);
    }
    int opt,x;
    rep(i,1,N){
    scanf("%d%d",&opt,&x);
    if(opt==1) root-> vEB_tree_Insert(x-1);
    if(opt==2) root-> vEB_tree_Delete(x-1);
    if(opt==3) printf("%d\n",root-> vEB_tree_Predecessor(x-1)+1);
    if(opt==4) printf("%d\n",root-> vEB_tree_Successor(x-1)+1);
    }
    }